Ung Vetenskapssport

Lösning Vecka 4

(a) Notera att $x^3 + y^3$ kan faktoriseras som $(x+y)(x^2 - xy + y^2)$. Om vi väljer $a = b^6$ så får vi att $n^6 + a = n^6 + b^6 = (n^2 + b^2)(n^4 - n^2b^2 + b^4) = (n^2 + b^2)((n^2-b^2)^2 + n^2b^2)$. Om $b$ är minst $2$ så är båda faktorerna heltal större än $1$ oberoende av vad $n$ är. Alltså är $n^6 + 64$ inte ett primtal för något heltal $n$.

(b) Notera att $x^4 + y^4 = x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - 2x^2y^2 = (x^2 + y^2)^2 -(\sqrt{2}xy)^2 = (x^2 + y^2 - \sqrt{2}xy)(x^2 + y^2 + \sqrt{2}xy)$. Om vi väljer $a = (\sqrt{2}b)^4$ får vi alltså $n^4 + a = n^4 + (\sqrt{2}b)^4 = (n^2 + 2b^2 - 2bn)(n^2 + 2b^2 + 2bn) = ((n-b)^2 + b^2)((n+b)^2 + b^2)$. Om $b$ är minst $2$ så är båda faktorerna heltal större än $1$ oberoende av vad $n$ är. Alltså är $n^4 + 64$ inte ett primtal för något heltal $n$.

Gå tillbaka till uppgiften här.


Copyright © Ung Vetenskapssport 2019