Ung Vetenskapssport

Julkalender


Här publicerar vi ett problem varje dag under december 2021! Du kan också hitta problemen i vår story på instagram.

Lucka 1

På tavlan står talen $2, 5, 11, 17, 23, 31$. Vad är nästa tal i sekvensen?

Visa lösning
Sekvensen innehåller vartannat primtal. Därför är nästa tal i talföljden 41.

Lucka 2

Nicole ska gå från rutan med $1$ till rutan med $2$. Hon kan bara gå höger och neråt, och får inte gå genom rutan med ett $X$. På hur många sätt kan hon gå till rutan med $2$?
Rutnät för problemet till lucka 2

Visa lösning
I varje ruta kan vi skriva på hur många sätt man kan komma till den. Då blir talet i en ruta summan av talen i rutan precis ovanför och till vänster. Så svaret blir 7.

Lucka 3

Hur många reella lösningar har ekvationen $x^{2021} + 12*x^{21} = 2021 - x$

Visa lösning
Vi observerar att vänsterledet är strikt ökande, så det kan finnas max en reell lösning. Eftersom vänsterledet är negativt när $x = -2$ och positivt när $x = 2$ så finns en lösning mellan $-2$ och $2$. Därmed finns exakt 1 lösning.

Lucka 4

Fyra positiva heltal står på tavlan. Produkten av de två minsta talen är $45$. Produkten av de två största är $192$. Vad är summan av talen på tavlan?

Visa lösning
Vi har $45 = 1 \cdot 45 = 3 \cdot 15 = 5 \cdot 9$, och det är alla möjligheter. De två minsta talen är därmed antingen $(1,45)$, $(3,15)$ eller $(5,9)$. Varken $(1,45)$ eller $(3,15)$ kan vara de två minsta, för då skulle de två största talen båda vara minst $15$, men då skulle deras produkt vara minst $15 \cdot 15 = 225 > 192$. Alltså är de två minsta talen $5$ och $9$. De två största talen är då båda större än $9$ och har produkt $192$. Det finns bara en möjlighet som uppfyller detta: $12 \cdot 16 = 192$. Summan av talen är därför $5+9+12+16 = $ 42.

Lucka 5

Tomten ska ut på tur med sin släde som dras av $6$ renar. Renarna står på ett led när de drar släden. De spelar inte så stor roll vilken ordning de står i, förutom att Rudolf måste stå längre fram än Stjärna. Hur många sätt kan de ordnas på så att detta villkor är uppfyllt?

Visa lösning
Det finns totalt $6! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 720$ sätt att ordna renarna, om vi bortser från det extra villkoret att Rudolf måste stå längre fram än Stjärna. I precis hälften av dessa står Rudolf längre fram än Stjärna så är svaret $\frac{720}{2} = $ 360.

Lucka 6

Björn har i julklapp fått tre primtal som kallas för $x, y$ och $z$ där $x > y > z$. Björn gillar att räkna matte med sina primtal och beräknar att $x + y + z = 56$ och $x - y - z = 30$. Vad blir $xyz$?

Visa lösning
Addera ekvationerna och få att $2x = 86 \implies x = 43$. Då får vi att $y + z = 13$. När summan av två heltal blir ett udda tal måste ett av dem vara jämnt och ett udda. Det finns endast ett jämnt primtal vilket är $2$ och därmed blir det sista primtalet $11$. Svaret blir därmed $43 \cdot 11 \cdot 2 = $ 946.

Lucka 7

Två tal står på tavlan. Sebastian avrundade talen, som inte nödvändigtvis måste vara heltal, ner och multiplicerade därefter resultaten och fick $100$. När Sebastian tog de ursprungliga talen på tavlan, avrundade talen uppåt och multiplicerade resultaten fick han talet $X$. Vad är det största värdet på $X$?

Visa lösning
Den maximala skillnaden när ett och samma tal avrundas ner respektive upp är $1$. Låt kalla de två nedrundade talen för $a$ och $b$. Vi har $ab = 100$, och vi vill att $X = (a+1)(b+1) = ab + a + b + 1 = 101 + a + b$ ska ge ett så stort tal som möjligt. Då $a$ och $b$ båda är heltal fås den största ökningen genom att $a = 1$ och $b = 100$. Detta gör att $X$ maximalt kan vara 202.

Lucka 8

En morgon ska Julia till skolan. I sin strumplåda har hon $2$ gröna, $4$ röda och $9$ vita strumpor. En tredjedel av Julias strumpor är trasiga, dock vet hon inte vilken färg de trasiga strumporna har. Julia tar strumpor från strumplådan och hoppas få två hela strumpor av samma färg. Hur många strumpor måste hon ta för att vara helt säker på att få ett helt par?

Visa lösning
$5$ strumpor, en tredjedel av alla $15$ strumpor är trasiga. I värsta fallet finns det åtminstone en söndrig strumpa i varje färg. I värsta fall kommer Julia ta alla $5$ söndriga strumpor plus en hel strumpa av var färg. Det är alltså först när Julia tar sin nionde strumpa som hon kan vara säker på att det kommer finnas åtminstone ett helt par strumpor i samma färg.

Lucka 9

Manja har en $10 \times 10 \times 10$-kub som målats julröd på alla sex sidor. Kuben sönderdelas till småkuber som är i storlek $1 \times 1 \times 1$. Hur många av alla småkuber har julröd färg på sig?

Visa lösning
De småkuber som inte målats julröda är de som finns innanför i en kub av storlek $8 \times 8 \times 8$. Antalet småkuber som inte målats julröda är därmed $10 \times 10 \times 10 – 8 \times 8 \times 8 =$ 488.

Lucka 10

Ruth har heltalsparet $(x,y)$ där $x \leq y$ och så att produkten $xy$ är fem gånger summan $x+y$. Hon undrar hur många sådana heltalspar det finns?

Visa lösning
Vi ska hitta heltalslösningar till $5(x + y) = xy$.
Vi har att $5(x + y) = xy \iff 5x – xy + 5y = 0$.
Bryt ut $x$ och subtrahera $25$: $x(5–y) + 5y = 0 \iff x(5–y) + 5y \ – 25 = -25$.
Bryt ut $-5$ ur $5y \ – 25$: $x(5–y) – 5(5–y) = -25 \iff (5–y)(x–5) = -25 \iff (5 – y)(5 – x) = 25$.
Vi söker heltalslösningar $(x,y)$ där $x \leq y$. Notera att $25 = 1 \cdot 25 = (-1) \cdot (-25) = 5 \cdot 5 = (-5) \cdot (-5)$, vilket ger lösningarna $(-20,4)$, $(0,0)$, $(6,30)$ och $(10,10)$. Totalt får vi alltså 4 lösningar.

Lucka 11

Ruth, Manja och Linn tänkte alla köpa en mattebok att ge till Hugo i julklapp. Dessvärre har priset på den eftertraktade matteboken höjts och Ruth saknar $200$ kr för att kunna köpa boken. Manja saknar $400$ kr och Linn saknar $500$ kr. Om de lägger ihop sina pengar räcker det precis till att köpa presenten. Vad kostar matteboken?

Visa lösning
Om vi betecknar mattebokens kostnad med $K$ får vi följande ekvation: $(K - 200) + (K - 400) + (K - 500) = K \iff 2K = 1100 \iff K = 550$. Matteboken kostar alltså 550 kr.

Lucka 12

Hugo har skrivit tal i ett antal boxar och sett till så att summan av fyra boxar i rad alltid är $5$. Julia har varit busig och suddat ut alla tal, förutom de tre tal som syns i figuren nedan. Vilket tal från vänster var det tredje Hugo skrev?
Rutnät för problemet till lucka 12

Visa lösning
En ruta har alltid samma värde som dess grannruta fyra steg till höger respektive fyra steg till vänster. Det är för att, till exempel, så är summan i ruta $1$ till $4$ samma som i ruta $2$ till $5$, så ruta $1$ och $5$ måste ha samma tal i sig eftersom ruta $2$ till $4$ är samma i båda summorna.
I bilden ser vi att låda $8$ har värde $1$. Alltså har låda $4$ också värde $1$. Vidare vet vi att det finns minst en $2$:a i raden, och eftersom alla tal upprepas i var fjärde låda, så måste antingen låda $1$ eller låda $3$ har en $2$:a i sig. Eftersom summan av de fyra första lådorna är $5$ måste då den av ruta $1$ och $3$ som inte har $2$:an i sig ha $5-0-1-2 = 2$ i sig, så det visar sig att både låda $1$ och $3$ har en $2$:a. Alltså är svaret 2.

Lucka 13

Björn, Nicole, Sebastian och Marcus går Luciatåg. På varje sång är det en av dem som ska spela piano medan de andra tre sjunger. Det visade sig att Björn sjöng flest gånger av alla, hela sju gånger, medan Nicole sjöng minst antal sånger av alla, bara fyra. Hur många sånger sjöngs totalt i luciatåget?

Visa lösning
På varje sång skedde tre sånginsatser. Alltså måste det totala antalet sånginsatser vara delbart med $3$. Då fyra var det minsta och sju var det största, sjöng Sebastian och Marcus antingen fem eller sex sånger vardera:
$4 + 5 + 5 + 7 = 21$
$4 + 5 + 6 + 7 = 22$
$4 + 6 + 6 + 7 = 23$
$21$ är delbart med $3$. Alltså var antalet sånger $\frac{21}{3} =$ 7.

Lucka 14

Fyra änglar sitter på en julgran bland allt pynt. Två av dem hade blå glorior och två hade gula. Änglarna vet inte vem som har vilket sorts gloria, men alla vet vem som kan se vem. Ängel A, som sitter högst upp i granen, kan se änglarna B och C som sitter under honom. Ängel B kan se ängeln C som sitter på grenen under. Ängel C kan inte se någon, eftersom ängel D gömmer sig bakom stammen, så att ingen kan se honom, men han kan inte se någon heller. Vem av dem kan garanterat bestämma färgen på sin gloria och berätta det för andra?

Visa lösning
Ängeln A kan både se ängel B och C. Ifall de har samma färg på glorian (båda är gula eller båda är blå), vet A direkt att han har den andra färgen, och i så fall säger han det. Ifall B och C har olika färg, vet inte A något och är då tyst. Då förstår B att han inte har samma färg som C och då kan han säga sin färg. Därför är det ängel B som, oavsett färgfördelning, kan bestämma färgen på sin gloria och berätta det för de andra.

Lucka 15

Av $27$ kuber av storleken $1 \times 1 \times 1$ limmade man ihop en kub av storleken $3 \times 3 \times 3$ genom att alla kontaktytor limmades. För att limma ihop två sidor använde en droppe lim varje gång. Hur många droppar lim använde man totalt?

Visa lösning
$27$ kuber har $6$ ytor var, så totalt $27 \cdot 6 = 162$ ytor. Av dessa så är det några som inte fått något lim på sig, nämligen $9 \cdot 6 = 54$ ytor ($9$ på varje sida av den stora kuben). Så det var $162 - 54 = 108$ ytor som limmades. Varje limdroppe limmade ihop två ytor, därför använde man $\frac{108}{2} =$ 54 limdroppar.

Lucka 16

Manja tar ett heltal och fördubblar det. Därefter fördubblas det igen, sen en gång till. Vilket av följande tal kan vi vara säkra på inte är Manjas slutresultat: $56, 64, 84$?

Visa lösning
Om vi börjar med talet $x$ så kommer vi efter $3$ fördubblingar ha talet $8x$. Alltså måste slutresultatet vara delbart med $8$. Både $56$ och $64$ är delbara med $8$, men 84 är inte det, så det är vårt svar!

Lucka 17

Ruth fick en stor säck i julklapp av en väldigt rik person. I säcken ligger sjukt många ädelstenar, gröna och gula, men hon kan inte avgöra på formen vilken färg de har. Ruth tar ut $100$ ädelstenar på måfå först och sedan $10$ ädelstenar på måfå. När är sannolikheten större att hon får lika många stenar av varje färg: i första eller andra fallet eller inget lika stor sannolikhet i båda fallen?

Visa lösning
Ju färre ädelstenar man drar, desto större är sannolikheten för att man ska dra lika många av varje färg. Om $N$ stenar dras, så kan resultatet bli på $2^N$ olika sätt (först kommer en gul eller en grön sten, sedan en gul eller en grön och så vidare). I hur många av de fallen har vi lika många av varje sort? Jo, när vi bestämmer oss för vilka i följden som skall vara gröna ($50$ stycken i fallet med $100$ dragna stenar), så har vi ett bestämt utfall, eftersom resten av stenarna måste vara gula. Och att välja $\frac{N}{2}$ stycken bland $N$ kan man göra på $\frac{N!}{(N/2)!(N/2)!}$ olika sätt. Alltså är sannolikheten för att ta ut $\frac{N}{2}$ av varje färg lika med $\frac{1}{2^N} \cdot \frac{N!}{(N/2)!(N/2)!}$.
Vi sätter in våra värden:
$\frac{1}{2^{10}}\cdot\frac{10!}{5!\cdot5!}$ är ungefär lika med $0.25$, medan
$\frac{1}{2^{100}}\cdot\frac{100!}{50!\cdot50!}$ är ungefär $0.08$.
Alltså är sannolikheten att få ut lika många av varje färg större när vi drar 10 stenar. Dessutom kan vi bevisa att sannolikheten är avtagande för växande $N$ (med induktion till exempel).

Lucka 18

I havet bor bläckfiskar med $6,7$ eller $8$ armar. De som har $7$ armar ljuger alltid, medan de som har $6$ eller $8$ armar alltid talar sanning. Fyra bläckfiskar möttes en gång. Den blåa sa: “Tillsammans har vi $28$ armar”, den gröna sa: “Tillsammans har vi $27$ armar”, den gula: “Tillsammans har vi $26$ armar”, och den röda: “Tillsammans har vi $25$ armar”. Hur många armar har varje bläckfisk?

Visa lösning
Eftersom alla bläckfiskarna sade emot varandra, måste minst tre av dem ha ljugit. Således har minst tre av dem $7$ armar var, det vill säga $21$ armar tillsammans. Om den fjärde bläckfisken också ljuger, så har den $7$ armar. Då har bläckfiskarna tillsammans $28$ armar, vilket är precis vad den blå bläckfisken säger. Men då säger den sanningen och kan inte ljuga, vilket alla bläckfiskarna skulle göra. Denna situation är alltså omöjlig. Den fjärde bläckfisken (som inte är bland de tre som ljuger), talar alltså sanning. Således, om den blå bläckfisken är den som talar sanning, så menar den att den har $7$ armar. Om den gröna talar sanning måste den ha $6$ armar. Den gula – $5$ armar, den röda – $4$ armar. Den enda som kan tala sanning och ha rätt antal armar är alltså den gröna bläckfisken. Den har $6$ armar och alla andra har $7$ armar, vilket blir $27$ armar totalt.

Lucka 19

Summan av tre positiva heltal är $11$. Summan av talen kuber är $251$. Hur många taltripplar uppfyller dessa två villkor?

Visa lösning
De första $6$ kuberna är $1, 8, 27, 64, 125$ och $216$. Nästa kub är för stor. Eftersom $\frac{251}{3} > 64$ så måste minst en av kuberna vara $125$ eller $216$. Om den största kuben är 216 måste summan av de två andra vara $251 - 216 = 35$, vilket endast kan skrivas som $8+27$. Om den största kuben är $125$ måste summan av de två andra vara $251 - 125 = 126$, vilket endast kan skrivas som $125 + 1$. Så det finns två möjligheter: $251 = 216 + 27 + 8 = 6^3 + 3^3 + 2^3$ och $251 = 125 + 125 + 1 = 5^3 + 5^3 + 1^3$

Lucka 20

Sebastian har sju olika sorters te hemma, och tre olika tekoppar. I en av tekopparna vill han bara dricka grönt te. Om han kan dricka sitt kvällste på precis $16$ olika sätt (kombinationer av tesort och tekopp), hur många olika sorters grönt te har han hemma?

Visa lösning
För de två kopparna där Sebastian kan ha vilket som helst av de sju sorternas te finns det enligt multiplikationsprincipen $2 \cdot 7 = 14$ olika sätt att kombinera tesort och tekopp. Då finns det $16 − 14 = 2$ sätt för koppen som bara ska användas till grönt te. Alltså har Sebastian två sorters grönt te.

Lucka 21

Marcus har konstruerat ett sjusiffrigt tal där alla siffror är olika. Talet är delbart med alla sina sju siffror. Vilken siffersumma har talet?

Visa lösning
Talet kan inte innehålla siffran $0$ eftersom division med $0$ inte är tillåtet. Om siffran $5$ ska vara med måste talet vara delbart med $5$ och därmed sluta på en femma. Det skulle betyda att ingen jämn siffra kan finnas i talet eftersom sista siffran då måste vara jämn. Men talet ska ha sju siffror och det finns bara fem udda. Alltså måste det finnas jämna siffror i talet och siffran $5$ kan därmed inte finnas med. Siffersumman av de återstående åtta siffrorna blir $1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 7 + 8 + 9 = 40$. Vi ska välja bort en siffra. Det betyder att minst en av $3$ och $9$ måste finnas kvar, dvs talet måste vara minst delbart med $3$. Då är även siffersumman delbar med $3$, vilket gör att vi måste ta bort $1, 4$ eller $7$. Tar vi bort $1$ eller $7$ är inte talet delbart med $9$ och därmed måste också $9$ plockas bort. Men då får talet för få siffror. Alltså ska siffran $4$ plockas bort och talets siffersumma är $36$.

Lucka 22

Linn går längs en rad med skåp i skolan. Skåpen är numrerade från $1$ till $100$ och från början är alla stängda. Första gången hon går förbi dem så öppnar hon alla skåp. Andra gången hon går förbi stänger hon vartannat skåp med start på skåp nummer $2$. Tredje gången så ändrar hon på vart tredje skåp med start på skåp nummer $3$, så att öppna skåp stängs och stängda skåp öppnas. Och så vidare. Hur många skåp är öppna efter den $100$:onde gången hon går förbi skåpen?

Visa lösning
Skåpet med nummer $n$ kommer ändras exakt en gång för varje delare till $n$. Det är för att Linn under runda $k$ ändrar på exakt de tal som har $k$ som en delare. Om ett tal $n$ har en delare som är $d$, så har det också en delare som är $\frac{n}{d}$. De två delarna i paret $(d, n/d)$ är olika, såvida inte $n = d^2$. Det betyder att det finns ett jämnt antal delare till $n$, såvida $n$ inte är ett kvadrattal. Alltså kommer alla skåp utom de med ett kvadrattal som nummer att ändras ett jämnt antal gånger, så de kommer vara stängda. Däremot kvadrattalen ändras ett udda antal gånger och är öppna. Det finns exakt $10$ kvadrattal mellan $1$ och $100$.

Lucka 23

Hugo har en $84 \times 147$-rektangel som han delar upp i ett antal lika stora kvadrater. Vad är det minsta antalet kvadrater som Hugo kan ha fått?

Visa lösning
Eftersom det ska vara lika stora kvadrater så måste sidlängden på kvadraten vara ett tal som delar både $84$ och $147$. För att få så få kvadrater som möjligt vill vi hitta en så stor kvadrat som möjligt. Vi letar alltså efter Största Gemensamma Delaren (SGD) till $147$ och $84$, vilket är $21$. Det får plats $28$ stycken $21 \times 21$ kvadrater i rektangeln och alltså är svaret $28$.

Lucka 24

Nicole, Björn och Linn räknade antalet julgranskulor av olika färger på granen. Var och en kunde skilja på två av färgerna, men de andra två kunde personen förväxla: En av dem förväxlade ibland röd och rosa, en annan kunde förväxla rosa och beige, och den tredje av dem kunde förväxla beige och gul. De sammanställde olika antal som de kom fram till i en tabell:
Tabellen med räknat antal kulor för Nicole, Björn och Linn

Visa lösning
Två av dem skulle aldrig blanda ihop röd med annan färg. Eftersom Nicole och Björn har samma antal röda kulor är det de som har rätt om att det finns $2$ röda kulor. På samma sätt har Nicole och Linn rätt om den gula färgen, $9$ kulor av den. Alltså blandar Nicole ihop rosa och beige, men totalt har hon räknat att det finns $12$ kulor av de färgerna. Björn blandar ihop beige och gul, men fick $17$ totalt, alltså finns det $8$ beige kulor. Därför finns det $4$ rosa kulor.

Copyright © Ung Vetenskapssport 2021