Jana Madjarova är biträdande professor i matematik och programansvarig för civilingenjörsprogrammet Teknisk fysik vid Chalmers. Hon tillverkar varje år provfrågor till matematikdelen av Matematik- och fysikprovet – ett alternativt antagningsprov till vissa utbildningar vid Chalmers och KTH. Dessutom är hon ordförande i tävlingskommittén för Skolornas matematiktävling (SMT), som är matte-SM för gymnasiet. Hon har fått flera pedagogiska utmärkelser för sin undervisning och bland annat medverkat i många artiklar om matematikundervisning i den svenska skolan. Vi på UVS lät henne svara på några frågor.

Naturvetenskapliga Fakultetsstyrelsen, Göteborgs Universitet.Jana Madjarova.

 

Vad driver dig till att engagera dig inom tävlingsmatematik?

Med risk för att det ska uppfattas som att svära i kyrkan, jag tycker inte att själva tävlingsmomentet är det viktigaste. Framförallt är tävlingarna mindre viktiga för personer som redan upptäckt sitt intresse för matematik, som får stöd från sina lärare och sin omgivning, och som har andra att diskutera matematik med. För sådana elever är det roligt och utmanande att tävla, och det är stimulerande att få nya kontakter. Det jag främst hoppas på är att matematiktävlingarna hjälper fler ungdomar att hamna i den kategorin – att upptäcka sitt intresse, få stöd och respekt från omgivningen, och etablera kontakter. Man skulle kunna tycka att det är få som drar nytta av tävlingarna, men så är det inte. De mest framgångsrika blir ambassadörer för ämnet i sina skolor och medverkar till att andra också  lyfter sig. Lärarna å sin sida har möjlighet att använda (eventuellt modifierade) tävlingsproblem i sin undervisning, vilket bidrar till att höja elevernas intresse.

I de flesta former av s k olympiadmatematik, även på IMO, är meningen att inga särskilda förkunskaper ska behövas för att förstå problemen och lösningarna. Hur skiljer sig olympiadmatematiken från den vanliga skolmatematiken?

Det finns en matematik, sen kan man välja att tävla, och då kallar folk den för tävlingsmatematik, eller att tillämpa den, och då går den ofta under namnet tillämpad matematik. I olika sammanhang gör man ett urval av stoff som passar det konkreta syfte man har. För den så kallade skolmatematikens del innebär tyvärr detta ofta att man missar det som egentligen är roligast i matematiken, nämligen sambanden och det kreativa inslaget. Den matematik man väljer för tävlingar satsar på just det som det blir mindre av i skolan – på problemlösning och i viss mån på fiffiga knep-och-knåpuppgifter. Problemlösning är inte bara roligt, det är oerhört nyttiga kunskaper och förmågor man får med sig. Knep och knåp kanske uppfattas som mindre väsentligt och mest kul, men sådana uppgifter utvecklar kreativiteten. Det är precis tävlingsproblemens annorlunda karaktär jämfört med gymnasieböckerna som gör att många upptäcker sitt intresse för ämnet.

För ett tag sedan blommade en debatt upp om den sjunkande kunskapsnivån hos de som börjar på högskolan, i synnerhet matematikkunskaperna på tekniska utbildningar. Hur vet vi att så faktiskt är fallet?

Flera högskolor ger diagnostiska prov när de nya studenterna kommer på hösten. Längst serie har Chalmers, vars diagnostiska prov, tack vare Rolf Pettersson, har genomförts i över 40 år. Rolf är numera pensionär, och jag har tagit över ansvaret för provet efter honom. Provet består av några få uppgifter som ska lösas på en halvtimme. Uppgifterna väljs ur en inte alltför stor pool. Det gör att provet inte ser exakt likadant ut från år till år. Man kan sedan antingen jämföra resultaten på provet generellt, eller jämföra resultatet på uppgifter av samma typ. Statistiken visar att resultaten gått stadigt ner. Under vissa perioder har det skett ganska brant, under andra ser man en mer eller mindre stabil nivå. När jag tog över tyckte jag det skulle vara intressant att ge exakt samma prov som under något år på 90-talet, eftersom provets generella svårighetsgrad även påverkar poängen på enskilda uppgifter. Jag har nu gjort detta experiment tre gånger, och resultaten är ganska nedslående. Hösten 2013 gav jag provet som gick 1992, och frekvensen rätta svar hade mer än halverats. När jag berättar om det uttalar många hypotesen att vi ställer frågor som inte längre behandlas på gymnasiet, men så är verkligen inte fallet. Det handlar om enkla saker, som förkortning i bråk, lösning av andragradsekvationer, logaritmens egenskaper, enkla derivator, sinus och cosinus … Försämringen är ett faktum, både på proven som helhet och på alla enskilda uppgiftstyper.

Vad tror du är anledningen till att nivån har sjunkit så mycket?

Oj, den frågan är jättesvår att besvara. Förklaringen är nog en kombination av många faktorer. Jag ska kommentera två av dem. En bov i dramat är det som ibland kallas för snuttefiering av matematiken. Det handlar om att man upplever matten i små portioner som inte hänger ihop. Personligen är jag motståndare till det kurssystem man införde på 90-talet. Det har flera negativa effekter. En av dem är rent psykologisk – nu har jag tenterat kursen, nu kan jag glömma den. Just vad matematik beträffar river man sönder ämnet i osammanhängande bitar. Man får höra lite geometri i en kurs, sen lite till kanske ett halvår senare i en annan kurs, och man upplever inte alls att saker hänger ihop. Dels blir det svårare att lära sig och komma ihåg för att det saknas ett system, dels missar man helt matematikens väsen, den handlar just om samband. Dessutom står det skolorna fritt att placera kurserna i den treårsperiod man går på gymnasiet. Kombinerat med att högskolorna inte längre har den sista mattekursen som behörighetskrav, får det effekten att även de som kommer till oss direkt från gymnasiet ibland inte har jobbat med matematik på länge. Men, det är inte bara kurssystemet. Det har länge ansetts nästan fult att lära sig saker. Istället har man fokuserat på att man ska förstå och man ska veta hur man får reda på det man vill veta. Jag undrar, vad är det man förstår om man inte kan något? Och kan man verkligen fördjupa sig i ett ämne (inte nödvändigtvis matematik) om man hela tiden måste slå upp det mest elementära? På högskolan får vi ibland kritik för att vi kräver att studenterna kan till exempel de trigonometriska formlerna istället för att låta dem använda formelsamlingar. Det är klart att om man aldrig har behövt lära sig en såpass stor mängd formler och aldrig har reflekterat över dem så är det lätt att känna som att man ska lära sig telefonkatalogen. Men, det är precis där förståelsen kommer in i bilden. Det är först när man ska kunna så mycket att det blir svårt att hålla i huvudet som man upplever behovet av ett system som ordnar kunskapen och gör den översiktlig. Det gäller både vetenskapernas historiska utveckling och var och ens individuella sådana. För att återvända till just trigonometrin, det är först när man ska kunna formlerna som man inser att alla de i själva verket är en enda under förklädnad.

Har du som föreläsare och provtillverkare tvingats sänka ribban med tiden?

Jag försöker låta bli! Som programansvarig för Teknisk fysik på Chalmers vill jag säga att vi är måna om att behålla utbildningens höga nivå. Jag måste dock erkänna att tentorna i de första matematikkurserna nu är något lättare än de var för säg 25 år sedan. Det hjälps inte, vi måste förhålla oss till de försämrade förkunskaperna.  De nya studenterna upplever rätt stora svårigheter vid övergången till universitetsstudier som det är. Vad vi hoppas på (och det finns indikationer på att vi lyckas ganska bra med) är att kompensera senare i utbildningen, så att nivån på dem som utexamineras är samma som den varit förr.

Hur kan man, enligt dig, förbättra matematikundervisningen i den svenska skolan?

En svår fråga till … Vad skulle jag göra om jag hade makten att ändra? Som jag nämnde tidigare skulle jag till att börja med frångå kurssystemet. Jag skulle satsa på mer systematiska studier. Skolmatematiken behöver inte bli svårare för det, men man skulle uppleva sammanhanget på ett helt annat sätt. Måhända skulle det till och med bli lättare, ibland är det lättare att lära sig mer än att lära sig mindre. Jag skulle införa någon form av statlig kontroll över läromedlen, eftersom det de facto ofta är böckerna som i hög grad definierar kurserna. Jag skulle kanske vilja ändra lite i tänket kring de nationella proven. I och med att det inte finns så många öppna prov har jag inte så stor erfarenhet av dem, så jag vill inte utveckla den tanken i dagsläget. Jag skulle (för jag har ju all makt?) höja lärarlönerna ordentligt, jag skulle se till att lärarnas arbetssituation förändras så att det finns både utrymme och stimuli för att man som lärare får fler chanser att själv och tillsammans med eleverna ägna sig åt det viktiga och roliga i sitt ämne. Jag skulle införa antagningsprov till universiteten generellt, för att flytta fokus från betyg till kunskaper och förmågor.

Du och Victor Ufnarovski, professor vid Lunds universitet, har sedan 2002 haft den så kallade korrespondenskursen som ska ge SMT-finalister nödvändig träning och fungerar som uttagning för Internationella matematikolympiaden (IMO). Dessutom har du varit koordinator på IMO ett par gånger. Hur mäter sig de svenska deltagarna jämfört med de från andra länder? Hur stor är skillnaden länder emellan?

Sverige brukar placera sig en bit under mitten, det är drygt 100 länder som deltar. Det ska sägas att det är ett intervall i vilket ett par poängs skillnad kan resultera i många steg upp eller ner på listan. Vi brukar ligga högst bland de nordiska länderna. Det är naturligtvis svårt att jämföra sig med stora länder som Kina, Ryssland och USA, men vi skulle helt klart vilja klättra ett tjugotal placeringar. Vad skillnaden länderna emellan beträffar, faktorerna är många. För att ge ett exempel, i östra Europa finns arvet efter det ambitiösa system som skapades på 60- och 70-talen. Där finns många skolor med matematikprofil, kvällsverksamhet för intresserade elever (som ofta leds av universitetslärare), många mindre tävlingar och andra evenemang under hela året, tidskrifter i matematik som riktar sig till gymnasieelever, problemsamlingar … Det hjälper att fånga upp dem som har en specialbegåvning och ett stort intresse.

Varför är det viktigt för den svenska skolan att ha en bra matematikundervisning?

Man behöver matematik i det dagliga livet. Många nyheter handlar om statistik, man talar ofta om procent, man behöver orientera sig bland tabeller, diagram, och inte minst ha koll på lån, räntesatser, priser och dylikt. Men matematiken ger mycket mer än de vardagliga konkreta tillämpningarna. Den är mycket utvecklande – studier i matematik främjar det logiska tänkandet, uppfostrar i att urskilja det väsentliga i varje situation och att göra rimlighetsbedömningar, tränar de studerandes problemlösningsförmåga. Allt detta är sådant man får med sig utan att riktigt vara medveten om det. Det leder ofta till frågor av typen ”vad ska det vara bra för”, man förväntar sig att se den omedelbara nyttan av allt man lär sig. Jag kan avsluta med att berätta en skröna. Euklides föreläste matematik i Alexandria. Det sägs att han fick just frågan vad det han föreläste skulle vara bra för. Då vände sig Euklides till sin slav och sa ”Ge honom en slant, ty han vill tjäna något på allt han lär sig”.